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從春秋筮例看大衍揲蓍法的問題

Jack 在 2014, 一月 8 - 22:17 發表

以《繫辭傳》「大衍之數五十」章所重建起來的揲蓍法,是今存最古老而可證的筮法,但是我們仔細去研究其機率(或然率)之後卻發現,這個筮法卻是大有問題的。

大衍揲蓍法的詳細操作法及考證可參考:詳談揲蓍法(或稱「筮法」,「大衍揲卦法」)以及易經卜卦的原點:大衍之數揲卦法兩篇文章。

我們經過機率的推理,以及各種可考資料的比對之後發現,世傳的這套揲蓍法很可能是錯的:可能是宋儒未正確重建漢儒的揲法,也有可能漢儒的揲蓍法就有問題。[馬王堆出土的帛書《繫辭傳》缺大衍揲蓍法這一段,因此可推斷這很可能是漢人所建構。此揲蓍法為漢代所建構的其他的相關論證請參考詳談揲蓍法(或稱「筮法」,「大衍揲卦法」

春秋筮例的機率比較

關於揲蓍法的機率計算,詳細的算術問題有興趣的可以自行慢慢去讀這一篇,簡單的結果可看下表。

我想多數人在計算了揲蓍法的機率之後,不管用的是精算還是概算,大概都不會認為那是一個「合理」的機率分配。因為「照理說」,一般人都會這樣想:機率應該大致有個對稱性,像是六和九的機率大略相當,七和八也大概一樣多,且六與九合起來(爻變)的機率會比七與八合起來(爻不變)的機會低。

用三錢法的機率就是一個符合理想的機率分布:九(三面皆陽)的機率為1/8,六(三面皆陰)的機率也是1/8,七(兩陰一陽)為3/8,八(兩陽一陰)也是3/8。照理說,揲蓍法的機率,也應該大致上接近這樣的分布。

原本懷疑,大衍揲蓍法中九的機率比六高出三或四倍是否因為周朝尚九,因此故意這樣設計?春秋筮例統計一出,清楚顯示出六和九這兩個數的機率應該是大致接近的,而且會比七和八低很多。事實上相較之下,三錢法的機率還比較接近春秋筮例的。

以下圖表我們將《左傳》與《國語》中可考的周易筮例找出,然後將其卦象還原為六、七、八、九的筮數,再統計每個數字的機率,比對現行蓍法的機率,發現到偏離過大,顯示出春秋筮法的機率與世傳筮法不一致。

出處 典故 卦象 卦數
莊公22年 陳厲公請周史筮陳敬仲 之否 888677 1 2 3 0
昭公五年 莊叔筮其次子穆 明夷之謙 987888 0 1 4 1
昭公七年 孔成子立衛靈公:立元? 788878 0 2 4 0
孔成子立衛靈公:立縶? 之比 988878 0 1 4 1
哀公九年 晉趙鞅救鄭 之需 777868 1 3 2 0
閔公元年 畢萬筮仕於晉 之比 988878 0 1 4 1
閔公二年 成季之將生也,桓公筮之 大有之乾 777767 1 5 0 0
僖公十五年 卜徒父筮秦穆公伐晉 877887 0 3 3 0
晉獻公筮嫁伯姬於秦 歸妹之睽 778786 1 3 2 0
僖公二十五年 秦伯師于河上,將納王 大有之睽 779787 0 4 1 1
成公十六年 晉侯筮楚救鄭 788888 0 1 5 0
襄公九年 穆姜筮出東宮否 之隨 689669 3 0 1 2
襄公二十五年 崔武子娶棠姜 之大過 678778 1 3 2 0
昭公十二年 南蒯之將叛 之比 888868 1 0 5 0
國語晉語 重耳筮尚得晉國 貞屯悔豫 988698 1 0 3 2
周語 晉之筮成公之歸 之否 999777 0 3 0 3
總計 10 32 43 11
筮例機率 0.104 0.333 0.448 0.115
10.4% 33.3% 44.8% 11.5%
揲蓍法機率  5.2% 28.9% 44.8% 21.1%
修正揲蓍法 10.6% 35.6% 39.4% 14.3%
三錢法機率 12.5% 37.5% 37.5% 12.5%

為何筮例只用了16個?

《左傳》與《國語》中一般講的所謂筮例總共有22個,但上表中我們只採納了16個筮例做統計,有六個筮例未採用。

這是因為細究之後,22例中有五個並不能算是筮例,而是「引用」《周易》,既然只是引用《周易》在講某些道理,就不能算是筮例。

比較特殊的是有一個出自《國語》「秦伯納重耳於晉」的「泰之八」筮例,之所以未採用,原因在於這一卦的卦象有爭議。

傳統說法以及學者普遍都因「泰之八」筮例中採用泰卦卦辭做占驗,因此而認定這是泰卦無變卦的卦例,但傳統以來的這個說法大有問題。

我們比較所有的筮例對於卦象的表達方式,若六爻都不變,則直接講卦名,不會有「之八」這樣的說法,有「之」字則代表有之卦,也就是有變爻。變爻少時(如一爻變)通常都是以「x卦之y卦」的表達方式。唯一出現過「之八」而明確可知卦象的是《左傳》襄公五年穆姜筮出東宮的筮例,說是「艮之八」,而史官又補充說是「艮之隨」,為五爻變之卦例,由此可推論,「之八」在當時是六九(變爻)很多時的表達體例,泰之八很可能是五爻變,或是多爻變,然後八為少數不變者,所以才說「泰之八」。所以這一卦很可能是有很多的九與六,而只有一、兩個八,比較可能是只有一個八,所以至少有兩個六。而在艮之隨(艮之八)的筮例之中,史官則是以隨卦卦辭來解。在泰之八筮例則是以泰卦卦辭來解,所以到底變卦是什麼卦?有多少爻變?那幾爻不變?這是一個難解的謎。從解卦體例推論另一個可能是二或三爻變的情況,所以沒有以之卦為占驗,而採用了本卦。但是在三爻變的筮例中,卻似乎有特殊的表達方式:重耳筮尚得晉國的「貞屯悔豫」。

由於類似的春秋筮例相當少,因此難以斷定到底「泰之八」到底是五個變爻,還是四個,或是三個、二個,但可以確認的是,「泰之八」絕對是多變爻,而不是長久以來學者所主張的,是無變爻的卦例。

未納入計算的這些筮例出處,請參考本文末。

筮法的調整推論

真正先秦甚至商、周時代的筮法是如何,目前並無任何經典可考,或許只能期望未來是否有更多的出土文物。

但當代的一些數字卦研究,有助於大致了解古代的筮法的基本框架。

我們從張政烺《論易叢稿》可大致得到一些結論:易經的陰陽是從數字卦的奇偶演進而來的,以六、七、八、九表達陰陽的整個系統也是數字卦之遺痕。而最早的數字卦所用的數字為一、五、六、七、八,並將二、三、四結果歸算於一、六等相近的奇數和偶數。九則是後來才出現的數字。

我們可約略看出在最早的筮法中,結果很可能是有一至八的任一數字的,而每個數字出現的機率假設都大致一樣,最早是把容易造成卦象之混爻的二、三、四記為相近的一、六(張政烺依此假設去計算所有數字卦的機率之後發現到是相符的),而在後來的發展裡,最終定在六、七、八、九(並以一為九)之後,我們做一個假設:把所有非一的奇數結果都記為七,一記為一(代表九);而非六的都記為八,六則記為六。那麼這個機率就是與三錢法的機率分配是一致的。

但以現有揲蓍法顯然無法得到一至五的結果。

數字崇拜?

數字的崇拜在人類文明中似乎是相當常見的一種現象,如古希臘畢達哥拉斯學派認為世界是由「數」所構成的,因此致力於建構一套可以解釋世界的數學,也成為了西方數學的鼻祖。

而易經的筮法,基本上也是一種以數字崇拜為基礎的占卜法。

我們從數字卦的研究,綜合易學的簡單基本知識可清楚看出,易經所用的筮法是崇拜「八」這個數字的:八卦、八八六十四卦,以及最早的筮法以八為極數。

而在殷商時期,甚至以坤卦(八屬陰,且為極數)為首,《禮記禮運》孔子曰:「我欲觀夏道,是故之杞,而不足徵也。吾得《夏時》焉。我欲觀殷道,是故之宋,而不足徵也。吾得《坤乾》焉。《坤乾》之義,《夏時》之等,吾以是觀之。」孔子考證殷道而得「坤乾」也可做為商朝以坤為首之佐證。

另一個可能的證據是,在春秋筮例中,六、七、八、九這四個數字,曾經被拿來表達卦象的,只有八這個數:《左傳》襄公五年穆姜筮出東宮得「艮之八」,國語晉語四秦伯納重耳於晉筮得泰之八,國語晉語重耳筮尚得晉國「得貞屯悔豫,皆八也」(所占得之卦數字自初爻至上爻應當是「九八八六九八」,皆八也似指未動之爻皆八)。

如果以八來表達卦象只出現一次,那麼是巧合的個例,如果是兩次,也可勉強說是巧合,就是兩次的巧合。但是三次呢?顯然八至少在周朝時仍保有其特殊之地位與意義,這層意義是六、七、九三個數字所沒有的。只是這層意義是什麼,似乎已經失傳而沒有人瞭解了。

筮法到了周朝有了一個大改造,在這次改造之中引進了九這個數字,最後並演變為以九為極數,並代表陽,進一步的建構起一套陽尊陰卑的思想。到了漢代,又有了不一樣的數字崇拜。漢人似乎是崇拜五的,五行、五德終始的流行,還有「天地之數五十五」、「大衍之數五十」,都可看到漢人對於五的崇拜。

我們假設現存的大衍揲蓍法是歷經數代傳承而改造下來的,每個朝代各依其數字崇拜而做了修正,那麼我大膽做了這樣的假設:

最早這套筮法或許是從商朝流傳下來的,其所用的蓍策數是48策,因商朝以八為極數,易卦有六爻,六八為四十八,此四十八之數就是易卦之極數,或許也是商朝人心中認為的天地之數。

至周朝,在48上加了一策,以取得九之數。到了漢代,則硬加上一策取得五十,以得到五這個數。由於是硬加上去的一策,因此在算卦過程當中,變成了把多出的一策放在一邊不用。

基於以上假設,我們為這個筮法做了一個簡單的調整:直接只以48策來算卦。如此調整之後,得到一個相當驚人的結果:第一營的機率得到了修正,其揲蓍結果和二、三營一致,取走四策和取走八策的機率接近相等,而最後揲蓍結果的機率分配,比三錢法更符合與接近春秋筮例的機率分布:九比六略高,而八比六略多。 

不過要注意的是,以上調整只是基於一些推理和假設,將現有筮法調整到一個與春秋筮例相近的合理機率分配。

 

附:未採用的春秋筮例

  • 宣公六年:鄭公子曼滿,與王子伯廖語,欲為卿伯。廖告人曰:「無德而貪,其在周易豐之離,弗過之矣。」間一歲,鄭人殺之。
  • 宣公十二年:晉師救鄭,..., 知莊子曰:「此師殆矣!周易有之,在師之臨曰,師出以律,否臧凶,執事順成為臧,逆為否,眾散為弱,川壅為澤,有律以如己也,故曰,律否臧,且律竭也,盈而以竭,夭且不整,所以凶也,不行謂之臨,有帥而不從,臨孰甚焉,此之謂矣,果遇必敗。彘子尸之,雖免而歸,必有大咎。」韓獻子謂桓子曰,彘子以偏師陷,子罪大矣,子為元帥,師不用命,誰之罪也,失屬亡師,為罪已重,不如進也,事之不捷,惡有所分,與其專罪,六人同之,不猶愈乎,師遂濟,楚子北師次於郔,沈尹將中軍,子重將左,子反將右,將飲馬於河而....
  • 襄公二十八年:孟孝伯如晉,告將為宋之盟故如楚也,蔡侯之如晉也,鄭伯使游吉如楚,及漢,楚人還之,曰,宋之盟,君實親辱,今吾子來,寡君謂吾子姑還,吾將使馹奔問諸晉,而以告,子大叔曰,宋之盟,君命將利小國,而亦使安定其社稷,鎮撫其民人,以禮承天之休,此君之憲令,而小國之望也,寡君是故使吉奉其皮幣,以歲之不易,聘於下執事,今執事有命曰,女何與政令之有,必使而君,棄而封守,跋涉山川,蒙犯霜露,以逞君心,小國將君是望,敢不唯命是聽,無乃非盟載之言,以闕君德,而執事有不利焉,小國是懼,不然,其何勞之敢憚,子大叔歸復命,告子展曰,楚子將死矣,不脩其政德,而貪昧於諸侯,以逞其願,欲久得乎,周易有之,在復之頤曰,迷復凶,其楚子之謂乎,欲復其願,而棄其本,復歸無所,是謂迷復,能無凶乎,君其往也,送葬而歸,以快楚心,楚不幾十年,未能恤諸侯也,吾乃休吾民矣,裨灶曰,今茲周王及楚子皆將死,歲棄其次,而旅於明年之次,以害鳥帑,周楚惡之。
  •  昭公元年:晉侯有疾,鄭伯使公孫僑如晉聘,...晉侯求醫於秦,秦伯使醫和視之,曰,疾不可為也,是謂近女室,疾如蠱,非鬼非食,惑以喪志,良臣將死,天命不祐。公曰,女不可近乎?對曰,節之....。出告趙孟,.....趙孟曰:「何謂蠱?」對曰:「淫溺惑亂之所生也,於文,皿蟲為蠱,穀之飛亦為蠱,在周易,女惑男,風落山,謂之蠱,皆同物也。」趙孟曰:「良醫也。」厚其禮而歸之。
  • 昭公二十九年:秋,龍見于絳郊,魏獻子問於蔡墨.....周易有之,在乾之姤曰,潛龍勿用,其同人曰,見龍在田,其大有曰,飛龍在天,其夬曰,亢龍有悔,其坤曰,見群龍無首,吉,坤之剝曰,龍戰于野,若不朝夕見,誰能物之,獻子曰,社稷五祀,誰氏之五官也,對曰,少皞氏有四叔,曰重,曰該,曰脩,曰熙,實能金木及水,使重為句芒,該為蓐收,脩及熙為玄冥,世不失職,遂濟窮桑,此其三祀也,顓頊氏有子曰犁,為祝融,共工氏有子曰句龍,為后土,此其二祀也,后土為社,稷,田正也,有烈山氏之子曰柱,為稷,自夏以上祀之,周棄亦為稷,自商以來祀之。
  • 國語晉語四秦伯納重耳於晉:董因迎公於河,公問焉,曰:「吾其濟乎?」對曰:「歲在大梁,將集天行。元年始受,實沈之星也。實沈之墟,晉人是居。所以興也。今君當之,無不濟矣。君之行也,歲在大火。大火,閼伯之星也,是謂大辰。辰以成善,后稷是相,唐叔以封。瞽史記曰:嗣續其祖,如穀之滋,必有晉國。臣筮之,得泰之八。曰:是謂天地配,亨,小往大來。今及之矣,何不濟之有?且以辰出而以參入,皆晉祥也,而天之大紀也。濟且秉成,必霸諸侯。子孫賴之,君無懼矣。」

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利用Python 程式開發,程式主架構如下:

#以亂數隨機選擇

#占6爻
#取一象太極 (傳統法用49策; 修正法揲卦:用48策)
#3變
#計算變次數
#分而為二以象兩 (考慮揲四,掛1)
#考慮成組,限制分組中策數不低於4及左右雙方隨機選擇
#左右雙方隨機選擇掛一; 計算選擇側數量
#計算另一側數量
#掛一以象三(每變掛一)
#揲之以四以象四時,求4之餘數
#餘數為0時, 餘數改為4
#歸奇於扐以象閏, 計算2邊餘數和
#使用策數掛1後扣除2邊餘數和(掛一納入歸奇)
#處理後使用策數整數除(商為整數), 求揲四組數

模擬6000次揲蓍法得到結果:

1. 用49策之結果

6次數: 345 ,7次數: 1834 ,8次數: 2634 ,9次數: 1187
6(老陰)出現機率=5.75% ,7(少陽)出現機率=30.57% ,8(少陰)出現機率=43.90% ,9(老陽)出現機率=19.78%

陽爻出現機率=50.35% 陰爻出現機率=49.65%

2. 用48策結果

6次數: 648 ,7次數: 2200 ,8次數: 2300 ,9次數: 852
6(老陰)出現機率=10.80% ,7(少陽)出現機率=36.67% ,8(少陰)出現機率=38.33% ,9(老陽)出現機率=14.20%

陽爻出現機率=50.87%  陰爻出現機率=49.13%

初步結論:

2種方式, 陰爻, 陽爻出現機率相當, 出現機率由多至少: 8-->7-->9-->6

      以何種方式占出結果較為準確才是重點, 未來需要驗證.

1.     川普是否可以選上總統

占卜日期:2020/10/2

#揲蓍法用48

結果= [8, 8, 8, 7, 7, 8]

本卦: 澤地萃                               變爻數= 0       []爻變      六爻全不變者,以本卦卦辭占

8 --

7

7

8 --

8 --

8 --

之卦= [8, 8, 8, 7, 7, 8]

之卦卦名: 澤地萃                      主卦 澤地萃 之 澤地萃

8 --

7

7

8 --

8 --

8

可能結果:Yes

 

占卜日期:2020/10/4

#揲蓍法用49

結果= [7, 8, 7, 8, 6, 7]

本卦: 山火賁                               變爻數= 1       [5]爻變      一爻變者,以本卦變爻的爻辭占

7

6 --

8 --

7

8 --

7

之卦= [7, 8, 7, 8, 7, 7]

之卦卦名: 風火家人                      主卦 山火賁 之 風火家人

7

7

8 --

7

8 --

7

6次數: 1 ,7次數: 3 ,8次數: 2 ,9次數: 0

6(老陰)出現機率=16.67% ,7(少陽)出現機率=50.00% ,8(少陰)出現機率=33.33% ,9(老陽)出現機率=0.00% 陽爻出現機率=50.00% 陰爻出現機率=50.00%

可能結果:Yes

 

占卜日期: 2020/10/2

金錢卦

[8, 6, 7, 8, 9, 8]

本卦

本卦: 水山蹇                               變爻數= 2       [2, 5]爻變      二爻變者,以本卦二變爻辭占,以上爻的爻辭為主

8 --

9

8 --

7

6 --

8 --

之卦= [8, 7, 7, 8, 8, 8]

之卦卦名: 地風升                      主卦 水山蹇 之 地風升

8 --

8 --

8 --

7

7

8

可能結果:NO

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