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大衍揲卦法的機率計算

Jack 在 2014, 一月 8 - 22:14 發表

以下是各種不同條件設定的機率計算:

 傳統 49 策起卦之精算  修正為 48策起卦之精算

 傳統 49 策起卦之概算  修正為 48策起卦之概算

 傳統 49 策起卦,只有第一變掛一之機率概算


這裡我們提供了兩種機率算法:一是精算,二是概算。

這是因為先前有朋友提出這個問題,並要求要有數學上的精確機率(可參考大衍揲卦的或然率問題這篇討論),因此這裡我們提供了兩種算法。

實際上,在這個問題上精算和概算各有其意義與用法,不能說精算正確概算錯誤。一般情況下,以概算的方式來討論大衍揲卦法即可,因為它讓我們能以更簡單而容易理解的數字來理解這個問題。

再者,人的行為會有某些慣性,例如,可能都平均只中分到中間的31策或33策(例如),因此實際機率恐怕還是得用實驗法來做才真正稱得上是較為精確的 --例如找100個人每個人操作10次取得1000次的結果。

大衍揲卦法精算之機率

所謂的精算,是把揲卦全部可能的排列組合都計算在內所得到的或然率。

下表僅將計算過程列出,若對於其中計算有疑慮或者想了解詳情者,可參考後面的詳細解說。

一變結果 二變結果 三變結果

策數 機率

48    1

44(-4)  36/47 0.77

40(-8) 11/470.23

策數 機率

44    36/47

 40(-4) 11/21 x36/47 

 36(-8)  10/21 x36/47 

 

40    11/47

 36(-4)       10/19 x 11/47

 32(-8)        9/19 x 11/47

結果

40策機率=11/21 x36/47 

36機率=10/21 x36/47 10/19 x 11/47

32機率=9/19 x 11/47

策數 機率

40 11/21 x36/47 

        36(-4)      10/19 x(11/21 x36/47 )

        32(-8)       9/19 x(11/21 x36/47 )

 

36 10/21 x36/47 10/19 x 11/47

        32(-4) 9/17 x(10/21 x36/47 10/19 x 11/47)

        28(-8) 8/17 x(10/21 x36/47 10/19 x 11/47)

 

32 9/19 x 11/47

        28(-4) 8/15 x(9/19 x 11/47)

        24(-8) 7/15 x(9/19 x 11/47)

結果 

36策(九)=10/19 x (11/21 x 36/47 

≒ 0.211166 ≒ 21.1%

32策(八)=  [9/19 x (11/21 x 36/47 )] + [ 9/17 x (10/21  x 36/47 + 10/19 x  11/47)]

≒ 0.44836120338 ≒ 44.8%

28策(七) [ 8/17 x (10/21  x 36/47 + 10/19 x  11/47)] + [8/15 x  (9/19 x  11/47)]

 0.28873686092 ≒ 28.9%

24策(六)7/15 x  (9/19 x  11/47)

 ≒ 0.05173572228 ≒ 5.2%

 

揲卦所用的總策數有49策,在第一變結果中,分二掛一之後兩堆總策數為49-1=48,由於結果一定要歸奇,餘數不可為零,所以最後結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,所以其可能結果為:

 1-47,2-46,3-45,4-44,5-46,…,44-4、45-3,46-2,47-1

其所取走的策數分別為:

 1+3,2+2,3+1,4+4,…4+4,1+3,2+2,3+1

這是一個「植樹問題」,由以上的條列可知取走 4+4 策的可能會是48/4=12少一次也就是11,其餘都是12,所以所有取策的機率分別為:

取走1+3策為12/47,2+2策為12/47、3+1策為12/47,4+4策為(12-1)/47= 11/47,所以一變結果為

  • 49-1-4 = 44策的機率為 12/47 + 12/47 + 12/47 = 36/47
  • 49-1-8 = 40策的機率為11/47

驗算結果,36/47+11/47= (36+11)/47 = 47/47 =1。

一變完成之後為44策的機率為36/ 47,為40策的機率為11/47,所以接著必需根據這兩種不同策數進行計算。

揲卦的操作策數為44策,分二掛一之後兩堆總策數為44-1=43,結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,不可為0,所以其可能結果為:

 1-42,2-41,3-40,4-39,5-38,…,39-4、40-3,41-2,42-1

其取走的策數分別為:

 1+2,2+1,3+4,4+3,1+2,…,3+4,4+3,1+2,2+1

取走1+2或2+1的可能分別都是44/4 =11,取走3+4或4+3則為11-1 =10。所以操作結果為40策(44-1-3)的機率為(11+11)/42= 22/42 =11/21,結果為36策(44-1-7)的機率為(10+10)/42=20/42=10/21

兩者在總機率中分別為:

  •  40策機率 =  11/21 x 36/47 
  •  36策機率 =  10/21 x 36/47 

揲卦的操作策數為40策,分二掛一之後兩堆總策數為40-1=39,結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,不可為0,所以其可能結果為:

 1-38,2-37,3-36,4-35,5-34,…,35-4、36-3,37-2,38-1

其取走的策數分別為:

 1+2,2+1,3+4,4+3,1+2,…,3+4,4+3,1+2,2+1

取走1+2或2+1的可能分別都是40/4 =10,取走3+4或4+3則為10-1 =9。所以操作結果為36策(40-1-3)的機率為(10+10)/38= 20/38 =10/19,結果為32策(40-1-7)的機率為(9+9)/38=18/38=9/19 

兩者在總機率中分別為:

  • 36策機率 =10/19  x 11/47
  • 32策機率 =  9/19  x 11/47

因此二變之後各種可能結果的機率為

  • 40策=11/21 x 36/47 
  • 36策=10/21  x 36/47 + 10/19 x  11/47
  • 32=9/19 x  11/47

三變結果

二變完成之後,可能得到40策,36策,以及32策,其機率如上。以下再分別以此三個可能結果做計算。

揲卦的操作策數為40策,分二掛一之後兩堆總策數為40-1=39,結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,不可為0,所以其可能結果為:

 1-38,2-37,3-36,4-35,5-34,…,35-4、36-3,37-2,38-1

其取走的策數分別為:

 1+2,2+1,3+4,4+3,1+2,…,3+4,4+3,1+2,2+1

取走1+2或2+1的可能分別都是40/4 =10,取走3+4或4+3則為10-1 =9。所以操作結果為36策(40-1-3)的機率為(10+10)/38= 20/38 =10/19,結果為32策(40-1-7)的機率為(9+9)/38=18/38=9/19 

兩者在總機率中分別為:

  • 36策機率 =  10/19 x 11/21 x 36/47 
  • 32策機率 =   9/19 x 11/21 x 36/47 )

揲卦的操作策數為36策,分二掛一之後兩堆總策數為36-1=35,結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,不可為0,所以其可能結果為:

 1-34,2-33,3-32,4-31,5-30,…,31-4、32-3,33-2,34-1

其取走的策數分別為:

 1+2,2+1,3+4,4+3,1+2,…,3+4,4+3,1+2,2+1

取走1+2或2+1的可能分別都是36/4 =9,取走3+4或4+3的可能則為9-1 =8。所以操作結果為32策(36-1-3)的機率為(9+9)/34= 9/17,結果為28策(36-1-7)的機率為(8+8)/34=8/17 

兩者在總機率中分別為:

  • 32策機率 =  9/17 x (10/21  x 36/47 + 10/19 x  11/47)
  • 28策機率 =  8/17 x (10/21  x 36/47 + 10/19 x  11/47)

揲卦的操作策數為32策,分二掛一之後兩堆總策數為32-1=31,結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,不可為0,所以其可能結果為:

 1-30,2-29,3-28,4-27,5-26,…,27-4、28-3,29-2,30-1

其取走的策數分別為:

 1+2,2+1,3+4,4+3,1+2,…,3+4,4+3,1+2,2+1

取走1+2或2+1的可能分別都是32/4 =8,取走3+4或4+3則為8-1 =7。所以操作結果為28策(32-1-3)的機率為(8+8)/30= 8/15,結果為24策(32-1-7)的機率為(7+7)/30=7/15

兩者在總機率中分別為:

  • 28策機率 =  8/15 x  (9/19 x  11/47)
  • 24策機率 =  7/15 x  (9/19 x  11/47)

揲蓍結果

將三變的結果總合起來即是整個揲蓍結果,計算如下:

  • 36策(九)=10/19 x (11/21 x 36/47  ≒ 0.211166 ≒ 21.1%
  • 32策(八)=  [9/19 x (11/21 x 36/47 )] + [ 9/17 x (10/21  x 36/47 + 10/19 x  11/47)] ≒ 0.44836120338 ≒ 44.8%
  • 28策(七) [ 8/17 x (10/21  x 36/47 + 10/19 x  11/47)] + [8/15 x  (9/19 x  11/47)]  0.28873686092 ≒ 28.9%
  • 24策(六)7/15 x  (9/19 x  11/47) ≒ 0.05173572228 ≒ 5.2%

大衍揲卦法調整之後的精算機率

由於大衍揲蓍法的機率有問題,主要問題出在第一變的起始策數多了一枚,我們依考證及推測,將一開始操作的策數設定為48策,就可以得到較為合理的機率分配,這個機率分配也符合春秋筮例的機率。

下表僅將計算過程列出,若對於其中計算有疑慮或者想了解詳情者,可參考後面的詳細解說。

一變結果 二變結果 三變結果

策數 機率

48    1

44(-4)  12/23 0.77

40(-8) 11/230.23

策數 機率

44    12/23

 40(-4) 11/21 x12/23 

 36(-8)  10/21 x12/23 

 

40    11/23

 36(-4)       10/19 x 11/23

 32(-8)        9/19 x 11/23

結果

40策機率=11/21 x12/23

36機率=10/21 x12/23 10/19 x 11/23

32機率=9/19 x 11/23

策數 機率

40 11/21 x12/23 

        36(-4)      10/19 x(11/21 x12/23)

        32(-8)       9/19 x(11/21 x12/23 )

 

36 10/21 x12/23 10/19 x 11/23

        32(-4) 9/17 x(10/21 x12/23 10/19 x 11/23)

        28(-8) 8/17 x(10/21 x12/23 10/19 x 11/23)

 

32 9/19 x 11/23

        28(-4) 8/15 x(9/19 x 11/23)

        24(-8) 7/15 x(9/19 x 11/23)

結果 

36策(九)=10/19 x (11/21 x12/23 )

≒ 0.1438378555 ≒ 14.3%

32策(八)=  [9/19 x (11/21 x12/23)] + [9/17x (10/21 x 12/23 10/19  x 11/23)]

 ≒ 0.39424648578 ≒ 39.4%

28策(七)   [8/17 x (10/21 x 12/23 10/19  x 11/23)] + [8/15 x  (9/19  x 11/23)]

 ≒ 0.35619483491 ≒ 35.6%

24策(六)=  7/15 x  (9/19  x 11/23)

 ≒ 0.10572082379 ≒ 10.6%

 

揲卦所用的總策數有48策,在第一變結果中,分二掛一之後兩堆總策數為48-1=47,由於結果一定要歸奇,餘數不可為零,所以最後結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,所以其可能結果為:

 1-46,2-45,3-44,4-43,5-42,…,43-4、44-3,45-2,46-1

其所取走的策數分別為:

 1+2,2+1,3+4,4+3,1+2,…,3+4,4+3,1+2,2+1

取走1+2或2+1的可能分別都是48/4 =12,取走3+4或4+3則為12-1 =11。所以操作結果為40策(44-1-3)的機率為(12+12)/46 =12/23,結果為36策(44-1-7)的機率為(11+11)/46 =11/23

所以一變結果為

  • 49-2-3 = 44策的機率為 =12/23
  • 49-2-7 = 40策的機率為 =11/23

二變

一變完成之後為44策的機率為 12/23,為40策的機率為11/23,所以接著必需根據這兩種不同策數進行計算。

揲卦的操作策數為44策,分二掛一之後兩堆總策數為44-1=43,結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,不可為0,所以其可能結果為:

 1-42,2-41,3-40,4-39,5-38,…,39-4、40-3,41-2,42-1

其取走的策數分別為:

 1+2,2+1,3+4,4+3,1+2,…,3+4,4+3,1+2,2+1

取走1+2或2+1的可能分別都是44/4 =11,取走3+4或4+3則為11-1 =10。所以操作結果為40策(44-1-3)的機率為(11+11)/42= 22/42 =11/21,結果為36策(44-1-7)的機率為(10+10)/42=20/42=10/21

兩者在總機率中分別為:

  •  40策機率 =  11/21 x12/23
  •  36策機率 =  10/21 x 12/23

揲卦的操作策數為40策,分二掛一之後兩堆總策數為40-1=39,結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,不可為0,所以其可能結果為:

 1-38,2-37,3-36,4-35,5-34,…,35-4、36-3,37-2,38-1

其取走的策數分別為:

 1+2,2+1,3+4,4+3,1+2,…,3+4,4+3,1+2,2+1

取走1+2或2+1的可能分別都是40/4 =10,取走3+4或4+3則為10-1 =9。所以操作結果為36策(40-1-3)的機率為(10+10)/38= 20/38 =10/19,結果為32策(40-1-7)的機率為(9+9)/38=18/38=9/19 

兩者在總機率中分別為:

  • 36策機率 =10/19  x 11/23
  • 32策機率 =  9/19  x 11/23

因此二變之後各種可能結果的機率為

  • 40策= 11/21 x12/23
  • 36策=10/21 x 12/23 10/19  x 11/23
  • 32=9/19  x 11/23

三變結果

二變完成之後,可能得到40策,36策,以及32策,其機率如上。以下再分別以此三個可能結果做計算。

揲卦的操作策數為40策,分二掛一之後兩堆總策數為40-1=39,結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,不可為0,所以其可能結果為:

 1-38,2-37,3-36,4-35,5-34,…,35-4、36-3,37-2,38-1

其取走的策數分別為:

 1+2,2+1,3+4,4+3,1+2,…,3+4,4+3,1+2,2+1

取走1+2或2+1的可能分別都是40/4 =10,取走3+4或4+3則為10-1 =9。所以操作結果為36策(40-1-3)的機率為(10+10)/38= 20/38 =10/19,結果為32策(40-1-7)的機率為(9+9)/38=18/38=9/19 

兩者在總機率中分別為:

  • 36策機率 =  10/19 x 11/21 x12/23 
  • 32策機率 =   9/19 x 11/21 x12/23 )

揲卦的操作策數為36策,分二掛一之後兩堆總策數為36-1=35,結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,不可為0,所以其可能結果為:

 1-34,2-33,3-32,4-31,5-30,…,31-4、32-3,33-2,34-1

其取走的策數分別為:

 1+2,2+1,3+4,4+3,1+2,…,3+4,4+3,1+2,2+1

取走1+2或2+1的可能分別都是36/4 =9,取走3+4或4+3的可能則為9-1 =8。所以操作結果為32策(36-1-3)的機率為(9+9)/34= 9/17,結果為28策(36-1-7)的機率為(8+8)/34=8/17 

兩者在總機率中分別為:

  • 32策機率 =  9/17 x (10/21 x 12/23 10/19  x 11/23)
  • 28策機率 =  8/17 x (10/21 x 12/23 10/19  x 11/23)

揲卦的操作策數為32策,分二掛一之後兩堆總策數為32-1=31,結果中兩堆蓍策任一堆一定要大於等於1,不可為0,所以其可能結果為:

 1-30,2-29,3-28,4-27,5-26,…,27-4、28-3,29-2,30-1

其取走的策數分別為:

 1+2,2+1,3+4,4+3,1+2,…,3+4,4+3,1+2,2+1

取走1+2或2+1的可能分別都是32/4 =8,取走3+4或4+3則為8-1 =7。所以操作結果為28策(32-1-3)的機率為(8+8)/30= 8/15,結果為24策(32-1-7)的機率為(7+7)/30=7/15

兩者在總機率中分別為:

  • 28策機率 =  8/15 x  (9/19  x 11/23)
  • 24策機率 =  7/15 x  (9/19  x 11/23)

揲蓍結果

將三變的結果總合起來即是整個揲蓍結果,計算如下:

  • 36策(九)=10/19 x (11/21 x12/23 ) ≒ 0.1438378555 ≒ 14.3%
  • 32策(八)=  [9/19 x (11/21 x12/23)] + [9/17x (10/21 x 12/23 10/19  x 11/23) 0.39424648578 ≒ 39.4%
  • 28策(七)=  [8/17 x (10/21 x 12/23 10/19  x 11/23)] + [8/15 x  (9/19  x 11/23)] ≒ 0.35619483491 ≒ 35.6%
  • 24策(六)7/15 x  (9/19  x 11/23) ≒ 0.10572082379 ≒ 10.6%

大衍揲卦法概算的機率

所謂的概算,是直接以可能的餘數--揲蓍數來計算機率。例如,在一變中,「分二」再「掛一」之後可能取走的蓍策結果為1+3、2+2、3+1、4+4,所以計算出取走8策(4+4)的機率為1/4,取走4策(1+3或2+2或3+1)的機率為3/4。

下表僅將計算過程列出,若對於其中計算有疑慮或者想了解詳情者,可參考最後面的詳細解說。

一變結果 二變結果 三變結果

策數 機率

48            1

44(-4)              3/4 0.75

40(-8)              1/4 0.25

策數 機率

44    3/4

40(-4)      1/2x 3/4 = 3/8

36(-8)      1/2 x 3/4=3/8

 

40    1/4

        36(-4)        1/2 x 1/4= 1/8

        32(-8)        1/2 x 1/4= 1/8

結果

40 ==> 3/8

36 ==> 4/8

32 ==> 1/8

策數 機率

40  3/8

        36(-4)        1/2 x 3/8= 3/16

        32(-8)        1/2 x 3/8= 3/16

 

36   4/8

        32(-4)        1/2 x 4/8 =4/16

        28(-8)         1/2 x 4/8 =4/16

 

32 1/8

        28(-4)        1/2 x 1/8 = 1/16

        24(-8)        1/2 x 1/8 = 1/16

 

36策(九)== 3/16

32策(八) == 7/16

28策(七) == 5/16

24策(六) == 1/16

一變結果

揲卦所用的總策數有49策,在第一變結果中,分二掛一之後總數為49-1= 48策,兩堆揲四的餘數與取走之蓍策數的組合可能如下:

  • 餘  數:0-0,1-3,2-2,3-1
  • 取走之策:4+4,1+3,2+2,3+1

所以取走四策的機率為3/4,取走8策的機率為1/4

一變結果可能為49-1-4 = 44,或者49-1-8=40,其機率分別為3/4和1/4

二變結果

一變完成之後,餘策可能為44可能為40,其機率分別為:

  • 44策之機率 = 3/4
  • 40策之機率= 1/4

以下分別計算以44策與40策操作的揲蓍結果

44策在分二掛一之後進行揲蓍的總策數為43策,其可能的餘數與取走的策數組合為:

  • 餘  數:0-3,1-2,2-1,3-0
  • 取走之策:4+3,1+2,2+1,3+4

取走7策(4+3或3+4)的機率為2/ 4 = 1/2,取走3策(1+2或2+1)的機率為2/ 4 = 1/2

結果可能的策數與機率分別為(3/4為一變完成之後為44策的機率):

  • 44-1-3= 40策機率 =1/2 x 3/4 = 3/8
  • 44-1-7=36策機率 = 1/2 x 3/4  = 3/8

40策在分二掛一之後進行揲蓍的總策數為39策,其可能的餘數與取走的策數組合為:

  • 餘  數:0-3,1-2,2-1,3-0
  • 取走之策:4+3,1+2,2+1,3+4

取走7策(4+3或3+4)的機率為2/ 4 = 1/2,取走3策(1+2或2+1)的機率為2/ 4 = 1/2

結果可能的策數與機率分別為(1/4為一變完成之後為40策的機率):

  • 40-1-3= 36策機率=1/2  x 1/4 =1/8
  • 40-1-7=32策機率 = 1/2 x 1/4= 1/8

三變結果

二變之後可能有40策、36策、32策等三種結果,其機率分別為:

  • 40策機率 = 3/8
  • 36策機率 = 3/8 + 1/8 = 1/2
  • 32策機率 = 1/8

以下分別計算40策、36策,及32策的揲蓍結果的機率

40策在分二掛一之後進行揲蓍的總策數為39策,其可能的餘數與取走的策數組合為:

  • 餘  數:0-3,1-2,2-1,3-0
  • 取走之策:4+3,1+2,2+1,3+4

取走7策(4+3或3+4)的機率為2/ 4 = 1/2,取走3策(1+2或2+1)的機率為2/ 4 = 1/2

結果可能的策數與機率分別為(3/8為二變完成之後為40策的機率):

  • 40-1-3 = 36策機率 = 1/2 x 3/8 =3/16
  • 40-1-7 = 32策機率 =1/2 x 3/8 =3/16

36策在分二掛一之後進行揲蓍的總策數為35策,其可能的餘數與取走的策數組合為:

  • 餘  數:0-3,1-2,2-1,3-0
  • 取走之策:4+3,1+2,2+1,3+4

取走7策(4+3或3+4)的機率為2/ 4 = 1/2,取走3策(1+2或2+1)的機率為2/ 4 = 1/2

結果可能的策數與機率分別為(1/2為二變完成之後為36策的機率):

  • 36-1-3= 32策機率=1/2x 1/2 =1/4
  • 36-1-7= 28策機率 =1/2 x 1/2= 1/4

32策在分二掛一之後進行揲蓍的總策數為31策,其可能的餘數與取走的策數組合為:

  • 餘  數:0-3,1-2,2-1,3-0
  • 取走之策:4+3,1+2,2+1,3+4

取走7策(4+3或3+4)的機率為2/ 4 = 1/2,取走3策(1+2或2+1)的機率為2/ 4 = 1/2

結果可能的策數與機率分別為(1/8為二變完成之後為32策的機率):

  • 32-1-3= 28策機率=1/2 x 1/8 =1/16
  • 32-1-7= 24策機率 =1/2 x 1/8= 1/16

總合以上結果,三變完成之後,該爻策數為36、32、28、24的機率分別為:

  • 36策(九)的機率 = 3/16
  • 32策(八)的機率 = 3/16 + 1/4 = 7/16
  • 28策(七)的機率 = 1/4 +1/16 = 5/16
  • 24策(六)的機率 = 1/16

大衍揲卦法調整之後的概算機率

我們依考證及推理將一開始操作的策數定為48策。所謂的概算,是直接以可能的餘數--揲蓍數來計算機率。例如,在一變中,「分二」再「掛一」之後可能取走的蓍策結果為1+2、2+1、3+4、4+3,所以計算出取走8策(4+3+1或3+4+1)的機率為1/2,取走4策(1+2+1或2+1+1)的機率為1/2。

調整過之後的揲蓍法,其概算機率與三錢法是一致的。

一變結果 二變結果 三變結果

策數 機率

48            1

44(-4)              1/2 0.5

40(-8)              1/2 0.5

策數 機率

44    1/2

40(-4)      1/2x 1/2 = 1/4

36(-8)      1/2 x 1/2=1/4

 

40    1/2

        36(-4)        1/2 x 1/2= 1/4

        32(-8)        1/2 x 1/2= 1/4

結果

40 ==> 1/4

36 ==> 1/4 + 1/4 = 1/2

32 ==> 1/4

策數 機率

40  1/4

        36(-4)        1/2 x 1/4= 1/8

        32(-8)        1/2 x 1/4= 1/8

 

36   1/2

        32(-4)        1/2 x 1/2 =1/4

        28(-8)         1/2 x 1/2 =1/4

 

32 1/4

        28(-4)        1/2 x 1/4 = 1/8

        24(-8)        1/2 x 1/4 = 1/8

 

36策(九)== 1/8

32策(八) == 1/8 +1/4 = 3/8

28策(七) == 1/4 + 1/8 = 3/8

24策(六) == 1/8

 

另一種揲蓍法的概算機率

對於傳統的大衍揲卦法,有人主張在三變成爻的過程當中,只有第一變需要卦一,第二及第三次不需掛一。此法之所以不採用,是因為其機率分極度不合理,我們從計算結果可知,六的出現機率低到1/64,而九的機率高達27/64,與八一樣高,而且是七(9/64)的三倍!

一變結果

揲卦所用的總策數有49策,在第一變結果中,分二掛一之後總數為49-1= 48策,兩堆揲四的餘數與取走之蓍策數的組合可能如下:

  • 餘  數:0-0,1-3,2-2,3-1
  • 取走之策:4+4,1+3,2+2,3+1

所以取走四策的機率為3/4,取走8策的機率為1/4

一變結果可能為49-1-4 = 44,或者49-1-8=40,其機率分別為3/4和1/4

二變結果

一變完成之後,餘策可能為44可能為40,其機率分別為:

  • 44策之機率 = 3/4
  • 40策之機率= 1/4

以下分別計算以44策與40策操作的揲蓍結果

44策在分二掛一之後進行揲蓍的總策數為44策,其可能的餘數與取走的策數組合為:

  • 餘  數:0-0,1-3,2-2,3-1
  • 取走之策:4+4,1+3,2+2,3+1

取走8策的機率為1/ 4 ,取走4策的機率為3/ 4

結果可能的策數與機率分別為(3/4為一變完成之後為44策的機率):

  • 44-4 = 40策機率= 3/4  x 3/4 =9/16
  • 44-8 = 36策機率 =1/4 x 3/4= 3/16

40策在分二掛一之後進行揲蓍的總策數為40策,其可能的餘數與取走的策數組合為:

  • 餘  數:0-0,1-3,2-2,3-1
  • 取走之策:4+4,1+3,2+2,3+1

取走8策的機率為1/ 4 ,取走4策的機率為3/ 4

結果可能的策數與機率分別為(1/4為一變完成之後為40策的機率):

  • 40-4= 36策機率= 3/4  x 1/4 =3/16
  • 40-8=32策機率 = 1/4 x 1/4= 1/16

三變結果

二變之後可能有40策、36策、32策等三種結果,其機率分別為:

  • 40策機率 = 9/16
  • 36策機率 = 3/16 + 3/16 = 6/16
  • 32策機率 = 1/16

以下分別計算40策、36策,及32策的揲蓍結果的機率

40策在分二掛一之後進行揲蓍的總策數為40策,其可能的餘數與取走的策數組合為:

  • 餘  數:0-0,1-3,2-2,3-1
  • 取走之策:4+4,1+3,2+2,3+1

取走8策的機率為1/ 4 ,取走4策的機率為3/ 4

結果可能的策數與機率分別為(9/16為二變完成之後為40策的機率):

    • 40-4= 36策機率= 3/4 x 9/16 =27/64
    • 40-8=32策機率 = 1/4 x 9/16= 9/64

36策在分二掛一之後進行揲蓍的總策數為36策,其可能的餘數與取走的策數組合為:

  • 餘  數:0-0,1-3,2-2,3-1
  • 取走之策:4+4,1+3,2+2,3+1

取走8策的機率為1/ 4 ,取走4策的機率為3/ 4

結果可能的策數與機率分別為(6/16為二變完成之後為36策的機率):

    • 36-4= 32策機率= 3/4 x 6/16 =18/64
    • 36-8=28策機率 = 1/4 x 6/16= 6/64

32策在分二掛一之後進行揲蓍的總策數為32策,其可能的餘數與取走的策數組合為:

  • 餘  數:0-0,1-3,2-2,3-1
  • 取走之策:4+4,1+3,2+2,3+1

取走8策的機率為1/ 4 ,取走4策的機率為3/ 4

結果可能的策數與機率分別為(1/16為二變完成之後為32策的機率):

    • 32-4= 28策機率= 3/4 x 1/16 =3/64
    • 32-8=24策機率 = 1/4 x 1/16= 1/64

總合以上結果,三變完成之後,該爻策數為36、32、28、24的機率分別為:

  • 36策(九)的機率 = 27/64
  • 32策(八)的機率 = 9/64 +18/64 = 27/64
  • 28策(七)的機率 = 6/64 +3/64 = 9/64
  • 24策(六)的機率 = 1/64

回應

"大衍揲卦法調整之後的精算機率" 那一個表是不是錯了?  不會和未調整前一樣吧?

另外, 詳細解釋中 "32策(八)=  [9/19 x (1/21 x12/23)] + [9/17x (10/21 x 12/23 + 10/19  x 11/23)] ≒ 0.40863027132 ≒ 40.9%" 那一行好像應該是 "32策(八)=  [9/19 x (11/21 x12/23)] + [9/17x (10/21 x 12/23 + 10/19  x 11/23)] ≒ 0.39424648578 ≒ 39.4%"

假設桌上有 A, B, C, D 四根籤, 我們拿走一支, 就會有四個情況.  而當我們要拿走兩根籤, 就有 AB, BC, CD, AC, AD, BD 六個情況.  由一根不拿, 到四根全拿, 總共有 1+4+6+4+1=16=2^4 種情況.  所以說是 binomial distribution.

你好像攪混了。

兩種情況完全不一樣。

這裡並不需處理49根籤中,假設取走30根籤或是25根籤時,會有多少種取法。事實上不論是取走30, 31, 40...都只會有一種取法,因為這基本上就是只要從中分開即可,並不需考慮49根籤中是那30根在一起的組合問題。

但你提到的機率不平均分配是有可能的,但那是理論與實際之差距,就像是世界只要畫出來的圓一定會有誤差一樣的道理,所以那種不平均問題並不需考慮在內。

另外,影響更大的可能是每個人的操作習慣問題,例如,有人如果只習慣在中間20根的範圍內中分,或是習慣在中間15根或10根的範圍內中分,那麼影響的機率會更大,大到你精算都完全沒什麼意義。

一個問題的解法本來就有很多種。

你說的觀念,用先前的ABCD四顆球來比喻是不正確的,但我想這個小小的科學遊戲應該可以說明你的觀念,應該也是你想說明的。

但記得把一顆彈珠的設定改為連續掉落之後再按開始。

問題在於,揲蓍的機率真的會如此分布嗎?這個答案就非常難解決了,所以我並不那麼確定可以立即支持你的論點。到底每一策的機率應該是一樣的,還是像這個模式說的是不一樣的?假設說他是不平均的,那麼若有人總是特別老是很極端的一邊多一邊少,那麼機率分布就完全翻轉過來了。我想問題出在於這是有人的操作在裡面,所以它似乎是介於兩者之間,很難決定就是那一個。既然兩邊都可都不可,那麼我們當然選擇較為簡單而好理解者,這也是為何一開始我就主張用概算法即可。

不過你的計算也驗證了一件事:若依這個模式,結果是,最後的機率很像一開始我們用概算法的分配。概算法可以說是樣本數極大化之後的理想數了,所以對於一般人來說,還有一般的驗證來說,用概算是最簡明而有效的。

我現在比較好奇而有點想做的是,把自己的眼睛矇起來,然後抽他一千次或一萬次,結果會如何?(這個結果若做出來就應該沒有爭議了吧?哈哈。不過若你有興趣的話早點做出來我就可把這心事給丟了。)

關於這個問題,今天我找了一個統計方面的專家當面請益討論。

基本上要先釐清遊戲規則,依筮法的基本規則,「分二」是一種隨機的行為,並非規定一定要中分(就是從正中間分),因此其機率,類似於一個袋子中五十顆球,每球編號從1至50,抽出任一號碼的機率是一樣的,都是1/50,所以筮法的機率就是我所列的精算法結果。

如果遊戲規則定為必需要從正中間一分為二,那麼機率才會變成每一種可能結果的機率不一樣,也就是你所主張的,依類似於彈珠台遊戲以二次分配所計算的機率--靠中間的,機率特別高,越到外面的,機率就越低,到最外面時,機率就趨近於零。

我也提出說:分二時,多數人的慣性還是會偏向於大致從中間一分為二。他說:這個不管,就理論與遊戲規則來說,一分為二就是一個隨機行為,所以就是任何結果的機率就是假定為一樣。除非遊戲規則改為必需從正中間一分為二。所以基本上還是遊戲規則如何定的問題。

簡單說:你所提的,不符合筮法之遊戲規則。

我想這問題應該到此為止了。除非另有統計學家來提出更好的說明,否則我還是相信我原來的計算才是正確的。

真的感謝你幫忙挑出來。

改了計算試卻忘了改結果,真低級的錯誤。哈,實在不好意思。

再次謝過了!