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卷二十下:天地之數五十有五、大衍之數五十其用十四有九

Jack 在 2013, 十二月 1 - 18:59 發表
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天地之數五十有五 大衍之數五十其用十四有九

循按:天地之數五十有五,大衍之數五十其用四十有九,三數不齊,說者牽合傅會,或謂大衍之數略其奇五而言五十(虞仲翔說。按:經明云五十五,云五十,云四十九,非略言也。)或謂五行各氣并,氣并則減五。(鄭康成說。按:生數成數相合,何以獨減其一。)或謂卦有六爻,六八四十八,如乾坤二用,凡有五十,初九潛龍勿用,故四十九(荀爽說)。或謂五十者,十日,十二辰,二十八宿,凡五十,其一不用者,天之生氣,將欲以虛來實(京房說)。或謂大極生兩儀,兩儀生日月,日月生四時,四時生五行,五行生十二月,十二月生二十四氣,北辰居中不動,其餘四十九,轉運而用(馬融說)。或謂參天從三始,順數至五七九,不取於一,兩地從二起,逆數而至十八,六不取於四,艮為少陽,其數三,坎為中陽,其數五,震為長陽,其數七,乾為老陽,其數九,兌為少陰,其數二,離為中陰,其數十,巽為長陰,其數八,坤為老陰,其數六,八卦之數,總有五十,故云大衍之數五十,其用四十九者。法長陽七七之數。(崔憬說,李鼎祚已駁破之。)或以其一不用為易之大極(王弼說),或謂五十有五,減六畫之數而用四十九(姚信、董遇說)。

實而按之,皆不可信。惟秦九韶數學九張首述大演數術蓍法表微,其術緐雜,不必皆是,而所說大衍五十,其用四十有九之義,於經為合,此必非秦氏之所創,蓋有所受。經生不明算數,而其法傳諸疇人,尚可考見焉。五十有五為天地之合數,自天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十相加所得之數也,明云天數五,地數五,五位相得而各有合,天數二十有五,地數三十,合一三五七九為二十五,合二四六八十為三十,又合二十五三十為五十有五,云二十五,云三十,云五十五,皆是實數,惟變化而行鬼神,乃有大衍之數。何為變化?在卦爻為旁通,在算數為互乘。衍字與演字同,《周語》「水土通為演」,《漢書.揚雄傳》「辭之衍者」注云「衍,旁廣也」。需二旁通晉五傳云「衍在中也」,大衍之衍即衍在中之衍。衍為流通旁達,大衍猶云大通,乃由少而蔓延,引申以至於廣大。若減五十五為五十,何得謂之衍?大衍之數五十者,天一地二天三地四互乘之數也。何為互乘?一乘二為二,二成三為六,此一二三之互乘也。二乘三為六,六乘四為二十四,此二三四之互乘也。三乘四為十二,一乘十二仍為十二,此三四一之互乘也。四乘一為四,四乘二為八,此四一二之互乘也。合為五十,所謂大衍也。彼此互乘,蕃衍滋溢,故得為衍。衍數自為衍數,合數自為合數。大衍之數五十,與天地之數五十有五,各為一數,不能牽合者也。大衍之數,僅以一二三四互乘者,何也?傳云「揲之以四,以象四時」,四時,春木夏火秋金冬水,土寄於其中。蓍法既準此以施其揲,則必從四時之木火金水而衍之,可知木火金水即一二三四也,以數之生者衍之,而得成數之六七八九,生數能變,成數已定不能變也。是天地之數,衍一二三四而得六七八九,故相傳以為五十不用者,此也,非不用大衍之數五十也。其用四十有九者,鄭康成謂五十之數不可以為七八九六是也。宋李泰伯、郭子和、趙汝楳言之甚明。

李云:「五十而用四十九,分於兩手,掛其一,則存者四十八,以四揲之,十二揲之數也。左手滿四,右手滿亦四矣。乃扐其八而謂之多。左手餘一則右手餘三,左手餘三則右手餘一,左手餘二則右手亦餘二矣,乃扐其四而謂之少。三少則扐十二,并卦而十三,其存者三十六,為老陽。以四計之,則九揲也,故稱九。三多則扐二十四,并掛而二十五,其存者二十四,為老陰,以四計之,則六揲也,故稱六。一少兩多則扐二十,并卦而二十一,其存者二十八,為少陽,以四計之則七揲也,故稱七。一多兩少,則扐十六,并掛而十七,其存者三十二,為少陰,以四計之,則八揲也,故稱八。」(見《易圖敘論》,在《旴江全集》中。)

郭云:「蓍必用四十九者,惟四十九,即得三十六、三十二、二十八、二十四之策也。蓋四十九去其十三則得三十六,去其十七則得三十二,去其二十一則得二十八,去其二十五則得二十四。世俗多以三多三少定卦象,如此則不必四十九數,以四十五、四十一皆初揲,非五則九,再揲三揲,非四則八矣,豈獨四十五四十一為然哉。凡三十三、三十七、五十三、五十七、六十一、六十五、六十九、七十三、七十七、八十一、八十五、八十九、九十三、九十七,皆可得五九四八多少之象,與四十九數為母者無以異,獨不可得三十六、二十四、二十八、三十二之策數,故四十九為不可易之道。」(見《朱文公易說》,蓋本其父兼山之言而詳之,不載傳家易說中。)

趙云:「以四十九策用之,則初變有五有九,策數得九者十二,得六者四,得七者二十,得八者二十八。儻用五十策,則初變惟有六,策數得九者七者各十六,得八者三十二,得六者闕,故不得不用四十九,惟不得不用,斯乃理之自然。」(見《筮宗刻《通志堂經解》中。)

三君之說皆足以發明鄭氏,而得所以用四十九不用五十之故,乃四十九而掛一,則分揲之歸之者四十八策而已,何以必用四十九?用四十九者,其微妙即在掛一也。用四十八則第一變所得非八即四,與第二變第三變同。蓋四十八者,一一數之,二二數之,三三數之,四四數之,皆盡者也。數之皆盡,則左一右必三,左三右必一,左二右必二,左四右必四,每變四居其三,八居其一,合三變約之,四居其九,八居其三,三變皆四,為十二,得三十六。三變皆八為二十四,得二十四。三變兩四一八為十六得三十二,三變兩八一四為二十,得二十八,此四十八策,亦可得六七八九之數,乃為三十六者二十七,為三十二者亦二十七,為二十八者九,為二十四者祇有一。老陰之所得太少,非其義也。(朱子筮法考誤以此為辨)。故用四十九,為一一數之二二數之三三數之四四數之皆奇一之數,第一變掛一,為不用其奇,而用四十八之偶數。第二變、第三變掛一,為不用其偶,而用三十九、四十三、三十五、三十一之奇數,奇偶相生,乃得三十六者十二,得二十八者二十八,得三十二者二十,得二十四者四,於是一三五七之奇數,次弟皆以四為等,非如四十八策所得之參差不齊。第一變之掛一,正為二變三變之掛一而設,而四十九之數,正為三度掛一而用。四十九,四四數之奇一之數也,奇一則分而揲之,左四右必一,右四左必一,或左二右必三,右二左必三,奇偶相遇皆得,五不可以成變化,行鬼神,故掛其一,而用四十八之偶,則分而揲之,右四者左必四,右二者左必二,右三者左必一,右一者左必三,用偶數,則以奇遇奇,以偶遇偶,皆得偶數,而成四數者三,八數者一也。一變之後,扐餘四者,歸奇其五,四十九去五,存正策四十四,扐餘八者,歸奇其九,四十九去九存正策四十,四十四,四十四,四數之不奇一適盡之數也。不奇一適盡,則仍以奇遇奇,以偶遇偶,皆得偶數,而成四數者三,八數者一也。三變皆用偶,亦不可以成變化,行鬼神,故掛其一,而用三十九四十三,則分而揲之,右二者左必一,右一者左必二,右三者左必四,右四者左必三,用奇數則奇與偶遇,偶與奇遇,皆得奇數,而成三數者二,成七數者二也。二變之後,扐餘三者歸奇其四,於四十中去四,存三十六,於四十四中去四,存四十。扐餘七者,歸奇其八,於四十中去八,存三十二,於四十四中去八,存三十六。三十六、四十、三十二,亦四四數之不奇一適盡之數也。仍二變之法,掛一分揲,得扐餘三,扐餘七,歸奇於三得四,於七得八,於是存四十者去四得三十六,去八得三十二。存三十六者,去四得三十二,去八得二十八。存三十二者,去四得二十八,去八得二十四。傳於再扐之後云:「乾之策二百一十有六,坤之策百四十有四。」明示以三十六為乾爻,二十四為坤爻,七八九六以所存正策之三十六、二十四、三十二、二十八而得。揲者積也(見《廣雅》),積之以一,則三十六,積之以四,則九矣。積之以一,則二十四,積之以四,則六矣。積之以一,則二十八,積之以四則七矣。積之以一則三十二,積之以四則八矣。虞仲翔云:「奇所掛之一策,扐所揲之餘,不一則二,不三則四也。取奇以歸扐,扐并合掛左手之小指為一扐。已一扐,復分掛如初揲之,歸奇於初扐,并掛左手次小指間,為再扐,而再潤。又分扐揲之如初,而掛左手第三指間,成一變,則布卦之一爻,此言分掛扐,極詳。

唐張轅乃有初揲掛一,次兩揲不掛之說。李泰伯、郭子和皆依之。郭云:「第二、第三變雖不掛,亦有四八之變,蓋不必掛也。」趙汝楳駁之,然第云:「後二變雖有四有八,卻不容不掛。」不知其用四十有九,全為後兩掛而設,謂不必掛者,固未深求,而謂不容不掛者,亦非精核,如後不必掛,則初亦不必掛,直用四十八策可矣。不容不掛,似因初之掛而因為例,以充四營之數者,詎知後兩掛,正不因初之掛以為例,而初之掛,轉因後二掛而引其端也。其用四十有九,以奇一為其間變化之樞也,然掛不掛之聚訟,總由不知歸奇象閏,與無為再閏之義,即虞氏於再扐再閏,亦未了然,凡置閏,前閏之後,不能適盡,尚有餘分,存之,積三年,又有所餘,乃合前所奇為閏月,掛一,前閏餘分也,扐,三年所餘也。揲得正策,一歲十二會之正數也。歸奇於扐,即合前後之餘,故象閏也。閏仍不盡,又有所奇,則二變三變皆掛一也。始掛一,象前之所餘,既分為二,則正策有兩,扐亦有兩。一掛,兩正兩扐,其數五,故象五歲,此五歲之中有兩扐,故象五歲再閏,在扐者,兩扐也,既分為兩,則有兩正策,即有兩扐也。兩扐之後又掛,是五歲再閏,仍有奇餘也。核傳文,則先以四十九策掛其一,然後分四十八策為二,揲其一,則有一扐,又揲其一,則有再扐。先掛後分,分而揲,揲而扐。傳先言分兩,後言掛一者,以象三,必屬於象兩之後也。云「在扐而後掛」,不云「再扐而後分」,則先掛後分明矣。若已分,則此掛一,將取於左乎?取於右乎?必不然者也。自再扐之義不明,五歲之數莫指,而或掛或不掛之說,乃紛紛矣。

其用四十有九,而必係以大衍之數五十,何也?其用即大衍之用也。大衍者取天一地二天三地四而衍之為五十也。五十何以不可用?其奇數不齊也。其不齊何也?一一數之奇一,二二數之、三三數之、四四數之,皆奇二。其不齊,不可以用,則必有以齊之,齊之何如?先齊其一二三四之等,以為無等也,凡約其數其一則無等,以一約二約三約四,皆奇一,以二約三,以三約四,亦奇一,惟以二約四則奇二,仍有等,必改二為一,以一約四,乃無等(此秦氏之連環求等)。於是以一一三四為定母,互乘之,為十二,為十二,為四為三,謂之衍數,以一約十二奇一,以一約十二奇一,以三約四奇一,以四約三不可約,乃用求一法求之,得三。其一一一三,謂之乘率。用乘衍數,以初一乘十二,仍為十二。以次一乘十二,仍為十二。以次一乘四,仍為四。以次三乘三,得九,共三十七,加衍母十二,為四十九,是為用數,所謂其用四十有九。此秦九韶筮卦發微大衍術也,其術即孫子三三賸二,五五賸三七七賸二之術,蓋相傳自昔,孫子未詳其法,而九章失載,漢唐以來鮮言及者,秦氏自言得諸隱君子,而術以大衍名,必文王周公遺法所流傳者也。用其術以求易義,而五十五所以衍數為五十,用數為四十九,其四十九之用數所以必係於衍數之五十,乃可得而言。其揲蓍之法,出於秦氏之傅會者不可從,故取李郭趙之說,而其所衍所用,確有精義,殊乎諸家之穿鑿湊砌,故刪其揲法,而取其衍法用法。試申言之。

乾策三十六,三其十二也。坤策二十四,兩其十二也。四十八,四其十二也。此以十二為等者也。四十八既扐,存四十四,存四十,存三十六,存三十二,存二十八,存二十四,此以四為等者也。四為四時,則十二即為十二會,以四合十二成一歲,故乾策三十六,於十二為三,於四為九,用九即用三也。坤策二十四,於十二為兩,於四為六,用六即用兩也。二十八為四七之數,三十二為四八之數,於十二之等不盡,則不能成歲,故用六用九而不用七用八也。揲餘之一二三四,即天一地二天三地四之數也,其用以一二三四之生數,其得以六七八九之成數,易取生生,故用生數也。以生為始,以成為終也。必以奇一為樞,乃得六七八九之數,故五十不可用,而用四十九,而此四十九即五十所約而得之,故四十九乃五十之用數,五十乃五十五之數之衍數,衍而用之,乃成變化而行鬼神,五十者,一二三四所衍也。四十九者,約一二三四為一一三四之所衍也。一二三四之衍母為二十四,一一三四之衍母為十二,是半之也。以其半衍而用之為三十七,仍加十二為四十九,乃以一二三四為用也。以一二三四之衍數,不能奇一,變化而為一一三四之衍數,一一三四之衍數仍不能奇一,又變化而為三十七之用數,三十七不可以得六七八九,又加衍母為四十九,是四十九與五十,為一二三四之所變通,即為一二三四求六七八九之樞紐。是術也,超乎九章之外,非聖人不能作,豈虛中虛一之空言所能解哉。求等求一,所以化不一者為一,皆自然造於微,推而表之附於左:

右等數

按:等即乘數之等,揲蓍以三十六為九,三十二為八,二十八為七,二十四為六,皆四之等。

右有等無等

按:大衍用數四十有九,以一一數之,二二數之,三三數之,四四數之,皆奇一。奇一則無等,故以一二三四求奇一,必先求無等。無等者,奇一也。故凡奇一者無等,何為奇一?必一一數之,皆盡。二三以上數之,皆餘一也。假如九與七,一九如九,一七如七,假如二與五,一二如二,一五如五,皆以一為等,即無等也。若四與十,則以二為等,六與九則以三為等,推之八十一與九十九,則以九為等,二百四十與一千零二十,則以十二為等,大抵兩偶數,則必有等,兩奇數,則或有或無,如七與九則無,三與九則有也。一奇數一偶數,則亦或有或無,如八與五則無,九與六則有也。無則用之,有則必求奇一變通而用之,求奇一,故必連環求等也。

右兩奇

按:九九數中,惟九與三兩奇有等,求其無等,則化三為一,一與九則無等也。何以化三為一?凡乘法可以互通,如一三為三,以三乘一,則以三為等可也。以一乘三,則以一為等亦可也。以三為等則有等,以一為等則無等,故化三為一。若九則三三如九,九以三為等,改為三,仍以三為等,故不可用,此兩奇之化法也。

右兩偶

按:兩偶必有等,必約成一奇一偶,而後無等。如四二以二為等。一二如二,可化二為一。二二如四,不可化四為二也。六八亦以二為等,二三如六,可化六為三,二四如八,不可化八為四也。化四為二,與二仍以二為等。化八為四,與六亦仍以二為等。秦氏所謂約奇弗約偶也。

右一奇一偶

按:十數中一奇一有有等者,惟六與三,九與六,十與五也。六三九六皆以三為等,五十以五為等。一三如三,二三如六,三可化一,六可化二,三三如九,二三如六,六可化二,九可化三,二五得一十,一五如五,五可化一,十可化二,依約奇弗約偶之例則宜化三為一,化九為三,化五為為一,然化九為三,三與六仍有等,三三如九之不可化三,猶二二如四之不可化二也。化五化三為一,可化矣,然見一恐其太多,則不若化六為二,二與三九,一奇一偶亦無等也。此秦氏所謂約得五而彼有十,則約偶弗約奇也。大抵凡兩數疊乘之數,無論奇偶,皆不可化,如二二如四不可化二,三三如九不可化三,四四一十六不可化四,五五二十五不可化五。六六三十六不可化六,七七四十九不可化七,八八六十四不可化八,九九八十一不可化九是也。凡乘之數有一,無論奇偶,皆不可多化,如一二如二,一三如三,一四如四,一五如五,一六如六,一七如七,一八如八,一九如九,必不得已而乃化為一也。何為不得已?如兩奇數之九與三,九既不可化三,則三不得不化一也,如兩偶數之四與二,既不可化二,則二不得不化一也。其一奇一偶可化一,可不化一,則不可化一也。秦氏所謂求定數勿使兩位見偶,勿使見一太多,見一太多,則借用繁也。

  • 一二(無等) 一三(無等) 一四(無等) 一變
  • 二三(無等) 二四(有等)        二變
  • 三四(無等)               三變

右連環求等

按:此以天一地二天三地四連環求之也。內惟二四兩偶有等,故化二為一。秦氏有積尺尋原,於連環求等之式,最為詳明,錄於左而釋之。

先以木二十,與革二十五求等,得五,乃反約木二十為四,木四與土五十求等得二,以約五十為二十五,木四與匏六十求等得四,約六十為一十五,木四與竹一百求等得四,約一百為二十五,木四與絲一百一十求等得二,約一百一十為五十五,木四與石一百二十求等得四,反約木四為一,以木一與金求等,得一不約,為木與諸數求等,約訖為一變。

次以革二十五與土五十求等,得二十五,約五十為二,以格二十五與匏一十五求等得五,約匏一十五為三,以革二十五與竹二十五求等,得二十五,約竹二十五為一,又以革二十五與絲五十五求等,得五,約絲五十五為一十一,以革二十五與石一百二十求等,得五,約一百二十為二十四,以革二十五與金一百三十求等,得五,約金一百三十為二十六,革與諸數約訖為二變。

按:革二十五不與一變之土二十五約,仍與原數土五十約者,恐見一多也。此秦氏故示人以活法耳。

以土二與匏三竹一絲一十一求等,皆得一不約,以土二與石二十四求等得二,反約土二得一,又以土一與金二十六求等,得一不約,土與諸數約訖,為三變。

以匏三與竹一絲一十一求等,皆得一,又以匏三與石二十四求等得三,約石二十四為八,又以匏三與金二十六求等,得一不約,匏與諸數約訖為四變。

次以竹一與絲一十一,石二十四金二十六求等,皆得一,竹與諸數約訖為五變。

按:竹一與石八求等,同於與二十四求等。秦氏省列前圖式,故不云與石八,而仍前圖式為二十四也。

以絲一十一與石二十四金二十六求等,皆得一,不約為六變。

以石二十四與金二十六求等得二,約金二十六為一十三,至此七變連環求等約訖,得數為定母。

按:以石二十四與金二十六求等,得二,以石八與金二十六求等,亦得二,省前一圖式,故不言八也。秦氏故言此以示人。

右為定母。

按:以一二三四連環求等,化為一一三四,以此例之可明。秦氏又有續等求法,見推計土功,亦詳釋於左。

先以丁丙求等,又以丁乙求等,皆得一不約。次以丁甲求等,得六,約甲五十四為九,不約丁。次以丙與乙求等,又以丙與甲九求等,皆得一不約,後以乙與甲九求等,得一不約,復驗甲九與丁二十四,猶可再約,又求等得三,以約丁二十四得八,復乘甲九為二十七。

按:秦氏例云:或皆約而猶有類數存,姑置之,俟與其他約徧,而後乃與姑置者求等約之。蓋有兩數求等,彼此約之,皆不能無等者,則必續約之,非必約畢後乃知之也。如五十四,與二十四,一為六九之數,一為四六之數,約二十四為六,固有等。約二十四為四,亦有等,約五十四為九,固有等,約五十四為二十七,亦有等,勢必再約一次,乃得無等,故先約甲五十四為九,後又約丁二十四為八也。約二十四為八,又以三乘九為二十七者,所以省求一之煩也。何言之?甲乙丙丁求衍數,甲得三千八百,乙得五千四百,丙得四千一百零四,丁得一萬二千八百二十五,以丁定母八,約一萬二千八百二十五,奇一,則不必更用求一術,若不以三乘九為二十七,則甲母九,乙母一十九,丙母二十五,丁母八,求衍數,甲得三千八百,乙得一千八百,丙得一千三百六十八,丁得四千二百七十五,以丁母八約四千二百七十五,不能奇一,而奇三,必用求一法求得天元併數三,以乘四千二百七十五,亦得一萬二千八百二十五,與三乘甲母,所得衍數同,故豫以三乘之,省後此之求一也。試推言之,如甲一十二,乙六,丙五,丙乙丙甲無等,甲與乙則必有續等,既以三約十二為四,又必以二約六為三,既以二約六為三,又以二乘四為八,猶以三約二十四為八,又以三乘九為二十七也。甲定母八,乙定母三,丙定母五,求衍數,得甲一十五,乙四十,丙二十四,以乙母三約四十,奇一,若不以二乘甲四,則甲母四,乙母三,丙母五,求衍數得甲一十五,乙二十,丙一十二,以乙母三約二十,不能奇一,而奇二,必用求一法,得天元併數二,以乘二十,亦得四十,與二乘甲母所得衍數同,故豫以二乘之,省後此之求一也。

  • 一乘一得一,又以三乘得三。 一乘一得一,又以四乘得四。 三乘一得三,又以四乘得十二。 四乘一得四,又以三乘得十二。

右以定母互乘得衍數。

按:原數一二三四,互乘為大衍之數五十,既求等,化為定母,一一三四,互乘得此數。

  • 一乘一得一。 又以三乘得三。 又以四乘得十二。

右以定母連乘為衍母。

  • 衍數十二以定母一約之奇一。 衍數十二以定母一約之奇一。 衍數四以定母三約之奇一。 衍數三以定母四約之不足約以大衍求一術入之。

右求奇數。

按:乘數必得奇一,不得奇一,必用求一術求其奇一。秦道古云:凡奇數得一者,便為乘率,今衍數是三,乃與定母四,用大衍求一術入之,置奇右上,定居右下,立天元一於左上,先以右上除右下,所得商數,與左上一相生入左下,然後乃以右行上下,以少除多,遞互除之,所得商數,隨即遞互累乘,歸左行,上下須使右上末後奇一而止,乃驗左上所得,以為乘率。今依其式,列而解之。

置奇右上  定母居右下 先以右上約右下,止約一次,則以一為商數

立天元一左上 以商數乘左上入左下為歸數

以右上三約右下四,餘一又以餘一與三相求

以餘一約奇三二次為商數二 │置三右上 置餘一右下

以歸數二加入前天元一得三 以商數二乘前歸數一得歸數二

以右下一約右上三,是以少除多,約兩次,右上奇三餘一,所謂末後奇一而止也。左上天元一所加歸數,得三,即為乘率,先以右上約右下,次以右下約右上,故云上下以少除多,兩次即止,則所謂遞互累乘者不繁,合前奇數為一一一三,衍數之三,乃不可奇一之三,此三為求一之三,同是三而用不同也。

  • 以奇一乘衍數十二為十二 以奇一乘衍數十二為十二 以奇一乘衍數四為四 以奇三乘衍數三為九 合之得三十七,不可求六七八九加衍母十二為四十九。

右其用四十九。

按:衍者,衍一二三四為五十也。用者,用一一三四為四十九也。以五十用為四十九,其中轉折如此,所謂成變化行鬼神,若漫於五十中去其一,有何妙理乎。更推而廣之於左。

  • 衍數二 母一奇一
  • 衍數三 母一奇一(約二次) 母二奇一
  • 衍數四 母一奇一(約三次) 母二盡(約二次) 母三奇一
  • 衍數五 母一奇一(約四次) 母二奇一(約二次) 母三奇二 母四奇一
  • 衍數六 母一奇一(約五次) 母二盡(約三次) 母三盡(約二次) 母四奇二(不可求) 母五奇一
  • 衍數七 母一奇一(約六次) 母二奇一(約三次) 母三奇一(約二次) 母四奇三 母五奇二 母六奇一
  • 衍數八 母一奇一(約七次) 母二盡(約四次) 母三奇二(約三次) 母四盡(約二次) 母五奇三 母六奇二(不可求) 母七奇一
  • 衍數九 母一奇一(約八次) 母二奇一(約四次) 母三盡(約三次) 母四奇一(約二次)母五奇四 母六奇三(不可求) 母七奇二 母八奇一
  • 衍數十 母一奇一(約九次) 母二盡(約五次) 母三奇一(約三次) 母四其一(約二次) 母五盡(約二次) 母六奇四 母七奇三 母八奇二 母九奇一
  • 衍數十一 母一奇一(約十次) 母二奇一(約五次) 母三奇二(約三次) 母四奇三(約二次) 母五奇一(約二次) 母六奇五 母七奇三 母八奇三 母九奇二 母十奇一
  • 衍數十二 母一奇一(約十一次) 母二盡(約六次) 母三盡(約四次) 母四盡(約三次) 母五奇二(約二次) 母六盡(約二次) 母七奇五 母八奇四 母九奇三 母十奇二 母十一奇一
  • 衍數十三 母一奇一(約十二次) 母二奇一(約六次) 母三奇一(約四次) 母四奇一(約三次) 母五奇三(約二次) 母六奇一(約二次) 母七奇六 母八奇五 母九奇四 母十奇三 母十一奇二 母十二奇一

右求奇,凡奇一,則不必更求。凡不可求者,必先以連環求等馭之(約盡則不可求),其奇二以上,必求奇一,表於左。

  • 衍數五 奇二 母三 商一 減餘一(下行) 天元一 歸數一

  減餘一 商一 奇二 餘一(上行) 互乘一 併二

以併數二乘衍數得十以母三約三次奇一

  • 衍數七 奇三 母四 商一 減餘一 天元一 歸一

  減餘一 商二 奇三 餘一 互二 併三

以併數三乘衍數得二十一以母四約五次奇一

  • 衍數七 奇二 母五 商二 減餘一 天元一 歸二

  減餘一 商一 奇二 餘一 互二 併三

以併數三乘衍數得二十一以母五約四次奇一

  • 衍數八 奇二 母三

法同第一術得併數二乘衍數得十六以母三約五次奇一

  • 衍數八 奇三 母五 商一 減餘二 天元一 歸一

  減餘一 商一 奇三 餘二 互一 併二

以併數二乘衍數得十六以母五約三次奇一

  • 衍數九 奇四 母五 商一 減餘一 天元一 歸一

  減餘一 商三 奇四 餘一 互三 併四

    以併數四乘衍數得三十六以母五約七次奇一

    • 衍數九 奇二 母七 商三 減餘一 天元一 歸三

      減餘一 商一 奇二 餘一 互三 併四

      以併數四乘衍數得三十六以母七約五次奇一

      • 衍數十 奇三 母七 商二 減餘一 天元一 歸二

        減餘一 商二 奇三 餘一 互四 併五

      以併數五乘衍數得五十以母七約九次奇一

      按:以前次商互乘歸數,皆一乘不長此。以次商二乘歸數二得四,與天元一相併為五,乃見互乘之妙。

      • 衍數十一 奇二 母三

      法同第一術得併數二乘衍數得二十二以母三約七次奇一

      • 衍數十一 奇三 母四 商一 減餘一 天元一 歸一

        減餘一 商二 奇三 餘一 互二 併三

      以併數三乘衍數得三十三以母四約八次奇一

      • 衍數十一 奇五 母六 商一 減餘一 天元一 歸一

        減餘一 商四 奇五 減一 互四 併五

      以併數五乘衍數得五十五以母六減九次奇一

      • 衍數十一 奇四 母七 商一 減餘三 天元一 歸一

        減餘一 商一 奇四 餘三 互一 併二

      以併數二乘衍數得二十二以母七約三次奇一

      • 衍數十一 奇三 母八 商二 減餘二 天元一 歸二

        減餘一 商一 奇三 餘二 互二 併三

      以併數三乘衍數得三十三以母八約四次奇一

      • 衍數十一 奇二 母九 商四 減餘一 天元一 歸四

        減餘一 商一 奇二 餘一 互四 併五

      以併數五乘衍數得五十五以母九約六次奇一

      • 衍數十二 奇二 母五

      法同第三術得併數三乘衍數得三十六以母五約七次奇一

      • 衍數十二 奇五 母七 商一 減餘二 天元一 歸一

        減餘一 商二 奇五 餘二 互二 併三

      以併數三乘衍數得三十六以母七約五次奇一

      • 衍數十三 奇三 母五

      法同第五術得併數二乘衍數得二十六以母五約五次奇一

      • 衍數十三 奇六 母七 商一 減餘一 天元一 歸一

         減餘一 商五 奇六 餘一 互五 併六

      以併數六乘衍數得七十八以母七約十一次奇一

      • 衍數十三 奇五 母八 商一 減餘三(下行) 天元一 歸一

           減餘二 商一 奇五 餘三(上行) 互一 併二

           次餘二 初餘三 商一 減餘一(下行) 互二 併三(以互二併前互一)

           減餘一 商一 次餘二 三餘一(上行) 互三 併五(以互三併前互二)

      以併數五乘衍數得六十五以母八約八次奇一

      按:以前次商即奇一而止,不用三商,此次商減餘數二,未奇一,故用三商四商,必減餘奇一乃止,以奇約母則下行,以母減奇則上行。母所減之餘多寡不問,而以奇所減之餘一不一為行止,所求者奇一,故減奇餘一乃止。減奇未餘一仍不止,用上行下行者,別乎奇減母,母滅奇之不同也。

      右十九條,皆依秦氏法推之,蓋求奇一之法有三,一則遞加衍數,假如衍數十七,以七七數之奇三(七為母),欲求奇一,則加一倍為三十四,以七約之奇六,又加一倍為五十一,以七約之奇二,又加一倍為六十八,以七約之奇五,又加一倍為八十五,以七約之奇一,凡加衍數共五倍,而得奇一,此一法也。一則遞加奇數,如衍數十七,以七七數之奇三,欲求奇一,則於奇三加一倍為六,以母七約之不足,又加一倍為九,以母七約之奇二,又加一倍為十二,以母七約之奇五,又加一倍為十五,以母七約之奇一,凡加奇數共五倍,而得奇一,此又一法也。一則秦道古求一法,右十九條所推是也。其法不用加而用減,如衍數十七,以七七數之奇三,以奇三約母七二次(次數即商數也,約二次為商二),而得奇一(此下行所得即減餘一),又以此奇一,約奇三二次而得奇一(此上行所得),以二次互乘二次得四(即以商二乘商二),加原有之一倍,併為五(是為併數五),以五乘十七,得八十五,與前遞加衍數五倍同。以五除八十五得十七,以三除十五得五,與此互乘數加天元一同。遞加則繁複,互乘乃精簡。天元一者,原有之一倍也。